기술통계학(요약 통계량) - 중심경향 및 산포도

최초 작성일: 25.09.23

최종 작성일: 25.09.23

 

1절 중심경향의 측정치 : 산술평균, 중앙치, 최빈치

1.1 개요

• 수집된 자료를 표나 그래프로 정리하면자료가 어떤 계급 또는 어떤 값을 중심으로 분포되어 있는 지
• 모양이나 특성을 통해서 시각적으로 알 수 있음
• 조사 대상인 자료가 내포하는 여러 가지 기본적인 특성들을 하나의 요약 특성치로 나타내면 통계 해석이 쉬워진다
  [요약 통계량 : 표본 자료의 분포 특성을 하나의 수치로 표현항 양] 

• 연구 대상이 되는 집단의 특성을 가장 효과적으로 대표할 수 있는 하나의 수치를 대표치 또는 중심경향치 라고 함
  [중싱겸향의 측정치 : 자료 분포의 중심이 되어 전체 자료를 대표하는 값을 말함 ]

• 즉, 측정치들이 어느 위치에 집중되어 있는 지를 말하며, 대푯값 이라고도 함
• 중심 경향을 측정하는 특성치 : 산술평균, 중앙치, 최빈치 

1.2 산술평균

• 산술평균은 보통 평균이라고 하며, 대표 치 중에서 가장 많이 이용함
• 평균은 변수의 값들을 모두 합한 후 변수의 수로 나누어 구함
• 통계에서 주어진 자료가 표본 또는 모집단에 상관없이  계산방법은 동일하고 사용하는 기호만 다를 뿐임

1.3 중앙치

• 중앙치는 서열 자료와 양적자료의 중심을 나타내는 중심경함 측정치의 하나임
• 중앙치는 변수의 값들 속에 하나 또는 두개의 매우 큰 수치 또는 매우 작은 수치가 있을 때에는 그 자료의 대표치로 사용됨
• 중앙치를 중앙값, 중위수라고도 불리움
• 중앙치란 변수의 값들이 크기의 순서로 배열되었을 때, 정확히 한가운데 위치하는 관측치를 의미함
• 자료에 대한 중앙치를 구하면 자료의 반은 중앙치 이하와 같고, 다른 반은 중앙치 이상과 같게 됨 
• 중앙치 계산방법
  -자료 크기의 순서대로 정리함
  -자료의 수가 n개 일떄 n이 홀수 이면 한가운데 있는 (n+1)/2 번째 관측치가 중앙치이고 n의 짝수이면 한가운 데 있는 두개의 자료, 즉, n/2 번째와 (n/2 +1) 번쨰 자료를 평균하여 중앙치를구함 
• 1.4 최빈치
  최빈치란 자료 중에서 발생하는 도수가 가장 많은 관측치를 말하며, 이를 최빈 값이라고도 함
• 어떤 경우에는 산술평균보다 최빈값이 더욱 중요한 대표값의 역할을 함
• 최빈치는 양적 자료에도 사용할 수 있지만 주로 연산의 의미가 필요 없는 명목척도나 서열척도를 이용하여 측정한 질적변수의 대푯값을 구하는 경우에 사용됨 
•  최빈치는 자료에 따라 존재하지 않을 수도 있으며 동시에 두 개 이상이 존재할 수도 있음
• 동시에 두개가 존재하면 이를 쌍봉이라 하고, 세개 이상 존재하면 다봉이라고 함

1.5 평균, 중앙치, 최빈치의 비교
통계분석에서 대표치로 평균이 가장 많이 사용됨
-평균이 신뢰성 있는 대표치로 가장 선호됨

-중양치와 최빈치는 주어진 자료 모두가 아니고 일부를 구하는 반면에 평균은 자료의 크기뿐만 아니라 도수까지 고려하기 때문에 자료의 정보를 가장 많이 활용할 수 있음
-중앙치와 최빈치는 수학적 연산이 불가능하지만, 평균은 수학적 연산이 가능함 

-평균에서 극단치가 발생할 떄 극단적인 관측치에 덜 민감한 중앙치가 대표치로 사용이 가능함

-최빈치는 양적 자료에도 사용되지만 질적 자료에도 사용(질적 자료는 평균과 중앙치를 계산할 수 없으므로 중심경향 측정치를 나타낼 수 있는 유일한 길은 최빈치의 사용 뿐임
-→ 평균, 중앙치, 최빈치는 자료의 성격이나 사용하는 방식에 따라서 선택적으로 사용하게 됨

 

 

2절 산포도의 측정치 : 범위, 평균절대편차

2.1 산포도

• 자료의 특성을 정리하고 요약하기 위해서는 자료의 중심위치 뿐만 아니라 자료의 변동(variation)도 함께 고려해야함
• 변동을 판단하기 위해서는 자료들이 서로 차이가 나는 정도(spread)를 확인하는 산포(dispersion)를 측정하게 됨
• 산포도는 분산도라고도 하며 개별 관측치들이 그들의 평균을 중심으로 흩어진 정도를 말함 
• 변수 값 분포의 특성을 분석 할때 중심경향과 동시에 평균을 중심으로 흩어진 산포도를 고려해야함
• 산포도의 요약 특성치로 범위, 중간범위, 평균 절대편차, 분산, 표준편차 등이 있음

2.2 범위

• 자료 분포의 산포도를 하나의 수치로 나타내는 방법으로 범위가 있음
• 장점 : 산포도의 측정치로 사용되는 범위는 계산하기 쉽고, 이해하기 위숨
• 단점 : 자료 속에 있는 두개의 극단적인 값만을 고려하기 때문에 무시되는 다른 값들에 대해서는 분포의 모양 등 아무것도 말해주지 않음
• 범위란 주어진 자료 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 절대적인 차이를 말함 
• 범위 = 최대치 - 최소치

2.3 평균절대편차(mean absolute deviation)

• 주어진 모든 자료를 활용하여 구한 평균을 중심으로 자료들이 어느정도 흩어져 있는 가를 측정하는 하나의 기법
• 평균절대편차는 관찰값과 산술평균과의 차이들의 평균
• 각 개별 자료와 평균의 차이를 편차라고 함
• 모든 자료에 대한 편차를 구하고 이들을 합치면 0이됨
  →음편차와 양편차가 서로 상쇄되기 때문이며, 이러한 문제로 각 편차의 절대값을 취하여 계산하며  평균을 계산하여평균절대편차를 구하게 됨 
• 평균절대편차를 각 관찰값이 평균으로부터 얼마만큼 떨어져 있는 지를 구체적으로 알려주기는 하지만 절대적 의미에서 떨어져 있는 정도가 큰지 작은지를 알려주지는 않음
• 두 집단 이상의 평균편차를 구하여 상대적으로 비교하지 않는다면 평균절대편차는 별로 큰 의미를 주지 못함

 

 

=sum-up

1. 중심경향의 측정치 : 산술평균, 중앙치, 최빈치

• 중심경향의 측정치란 자료 분포의 중심이 되어 전체 자료를 대표하는 값을 말한다. 즉, 측정치들이 어디에 집중되어 있는지 위치를 말하며, 대표값이라고 한다.
• 중심경향을 측정하는 특성치는 산술평균, 중앙치, 최빈치 등이 있다.
• 산술평균은 보통 평균이라 하며, 대표치 중에서 가장많이 이용한다
• 중앙치는 서열 자료와 양적 자료의 중심을 나타내는 중심경향 측정치의 하나이다
• 최빈치란 자료 중에서 발생하는 도수가 가장 많은 관측치를 말한다. 이는 최빈값이라고도 한다

  2. 산포도의 측정치 : 범위, 편균절대편차

• 산포도는 분산도라고도 하며 개별 관측치들이 그들의 평균을 중심으로 흩어진 정도를 측정한다
• 범위란 주어진 자료 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 절대적인 차이를 말한다
• 평균절대편차란 주어진 모든 자료를 활용하여 구한 평균을 중심으로 자료들이 어느 정도 흩어져 있는 가를 측정하는 하나의기법이다