확률이론 - 집합과 확률이론

최초 작성일: 25.10.05

최종 작성일: 25.10.05

 

1절 사상과 표본공간 : 단일사상과 복합사상

1.1 실험과 표본공간

• 실험
  • 어떤 변수의 관찰(시행) 또는 측정 시 두개 이상의 결과 중 어떤 것이 나올지 전혀 모르는 상황에서 하나의 결과가 유발되는 행위또는 과정
  • 어떠한 결과를 사전에 정확하게 예측할수 없는 상태에서 진행되는 확률실험(random experiment)을 의미하는데 한번 시행할 떄 꼭 하나의 실현가능한 결과를 발생시킴
• 표본공간
  • 확룰실험의 표본공간이란 실험 또는표본의 실현가능한 모든 기본결과(표본점, 원소)들의 집합
  • 1,2,3,4,5,6, 앞면, 뒷면 등 표본공간을 구성하는 값들을 표본점이라고 하며, 표본점은 한번 실험하여얻을 수 있는 한 결과를 말함 
  • 주사위 던지기 실험의 표본점은 6개, 동전 던지기 실험의 표본점은 2개
  • 표본점은 동시에 발생할 수 없고, 서로 공통되는 기본결과를 갖기 않은 상호배타적이고 포괄적인 사상이어야함
  • 동전던지기의 특정한 표본점의 앞면이면 1/2이고 표본 공간을 구성하는 사상들이 상호배타적이고 포괄적이면 모든 사상들이 일어날 확률의 합은 항상 1이 됨

1.2 단일사상과 복합사상

• 사상(event)
  • 표본 공간을 이루는 특정 표본점을 말하며, 사건이라고 함
  • 사상은 확률실험의 결과 기본결과 들 중 하나가 유발될 때 발생함
• 단일 사상 : 더이상 단순한 결과로 분해할 수 없는 실험의 기본결과를 말하며 표본점이라고 함
  • 주사위 하나를 던지는 경우 표본공간 내의 각각의 표본점을 단일 사상이라고 함
  • 즉, 표본공간의 단일사상의 집합이므로 사상은 표본공간의 부분집합(subset) 이라고도 말함
  • 짝수를 관찰하는 사상은 숫자 2,4,6을 관찰한다는 세가지 단순사상들로 나누어질 수 있고, 짝수를 관찰하는 사상을 a라고 하면 a의 복합사상으로서 표본 공간 s의 부분집합, 즉 a= {2,4,6}이 됨
• 복합 사상 : 단일 사상들의 집

2절 집합이론

2.1 집합(sets)의 개념

• 개체 또는 원소(element)의 모임
• 원소라는 것은 집합을 형성하는 개별사물을 가리키는 것으로서, 그 개별사물은 명확히 정의되어야 함
• 어떤 집합을 구성하는 개체로서 원소는 {}속에 넣는 것이 관례

2.2 집합의 종류

• 합집합
  • 두집합 a와 b의 합집합은 집합 a에 포함되거나 또는 집합 b에 포함되는 형태를 가짐
  • 즉, 양쪽에 포함되는 모든 원소들의 집합
• 교집합
  • 두집합 a와 b의 교집합(intersection of sets)은 집합 a와 b에 공통적으로 포함되는원소들로 구성되는 집합
  •  
• 차집합과 여집합
  • 두집합 a와 b의 차집합은 집합 a에는 속하지만 집합 b에는 속하지 않는 원소들로 구성된 집합을말하며 a-b로 표현함
  • 전체 집합 u의 부분집합 a에 있어서 전체 집합 u와 집합 a의 차집합을 a의 여집합 이라고 함   

3절 확률의 연산법칙 : 덧셈법칙

3.1 확률

• 확률의 정의
  • 모집단을 알고 있음을 전제로 하여 모집단으로부터 여러가지 표본을추출할 수 있는 가능성을 계산하는 것
  • 확률은 모집단 정보에 입각하여 가능한 표본의 성격을 추론하는 것 
  • 확률이론을 사용하는 이유는 표본에서 추출한 제한된 정보만을 갖고 있는 의사결정자가 위험을 분석하고 최소화시키는 데 도움이 됨
  • 확률은 불확실한 상황을 취급하는 도구이며 불확실한 상황에서 확률실험을 할 때 나타나는 각 사상 또는 결과가 미래에 발생할 가능성 또는 확실성을 0부터 1까지의 숫자로 측정하기 위하여 확률 개념을 사용함
  • 통계적 검정, 알지못하는 모집단의 속성을 추리하기 위하여 모집단을 대표하는 표본을 추출하여 모집단의 속성을 판단하는데 필수적 요소 
  • 추리통계학은 모집단으로부터 추출된 표본정보에 입각하여 그 모집단에 대해 어떤 결론을 내리기 때문에 추출되는 표본에 따라 표본통계량이 매번 달라지므로 항상 불확실성과 위험이 동반됨
• 상대빈도 정의
  • 실질적으로 수많은 실험이나 경험을 통해 얻는 확률 개념
  • 어떤 사건이 나타날 확률은 실험을 무한에 가깝게 계속적으로 시행할 떄, 전체시행 횟수에서 그 사건이 나타나는 빈도수를 상대적으로 나타낸 것이며 이는 경험적 확률 또는 사후 확률이라고 함
  • 상대빈도 확률은 경영문제에 많이 적용됨에도 불구하고 실험을 무수히 시행해야 하는 현실적 어려움이 있음 
    → 무수히란 어느정도를 의미하는 지 막연하다는 문제점을 내포함
• 동등발생정의
  • 어떤 실험이나 관찰의결과로 나타날 수 있는 모든 경우들이 각각 동일한 가능성ㄹ 가지고 발생할 것이라는 가정하에서 특정사건 A가 일어날 확률을 의미함
  • 실험을 무한대로 반복하지 않아도 알 수 있, 이는 이론적 확률 또는 사전 확률이라고도 함  

• 주관적 방법
  • 상대빈도와 동등발생 개념은 사실에 입각하여 사상에 확률을 부여하기 때문에 누구든지 똑같은 값을 갖게 되는 객관적 방법
  • 모든 결과물이 똑같이 발생하지 않은 상황이라든지, 자료를 구할 수 없는 경우에는 객관적 방법에 의한 확률 결정이 불가능함
  • 이런 경우 주어진 조건에서 사상이 발생할 확률이 얼마인지 경험, 지식, 정보 등을 바탕으로 의사결정자가주관적으로 결정해야함 

3.2 덧셈 법칙

• 의미
  • 확률의 덧셈 법칙은두 사상 A와 B의 합사상이 발생할 확률
  • 상호 배타적이란 동전의 앞면과뒷면과 같이 두 사상이 동시에 발생하지 않는다는 것을 의미함
  • 일반 법칙 : 상호배적이 아닌 사상의 경우
  • 특별 법칙: 상포배타적인 사상의 경우